Тони Шунич родился 15 декабря 1988 года в городе Мостар. В 10-летнем возрасте начал заниматься футболом в родном городе, в системе ФК "Зриньски".
Долгое время играл за молодёжную команду. В основной состав сумел пробиться лишь в 2008 году, но достаточно быстро стал стабильным игроком основного состава и помог своей команде стать чемпионов Боснии и Герцеговины. В сезоне 2010/2011 его арендовал бельгийский "Кортрейк" с правом выкупа. В Лиге Жюпиле Тони сыграл 13 матчей за сезон, не сумев убедить боссов бельгийцев в необходимости подписать с ним соглашение и, вернувшись на родину, он продолжил выступления за "Зриньски".
В январе 2012 года в услугах Тони заинтересовалась луганская "Заря", которая смогла договориться с боснийским клубом и подписала контракт с Шуничем. В украинской Премьер-лиге Тони стабильно выступал как основной игрок луганчан, сыграв за полтора года 62 матча. Летом 2014 года перебрался в Россию, выступать за краснодарскую "Кубань", в которой также быстро нашёл себе место в основном составе.
С 2008 по 2010 года выступал за молодёжную сборную своей страны, отыграв за неё 10 матчей и забив 1 гол. В 2012 году дебютировал за национальную сборную Боснии и Герцеговины в товарищеском поединке с Уэльсом. В официальных матчах начал играть с отбора к ЧМ-2014. Боснийцы сумели пробиться на бразильский мундиаль, и Тони Шунич получил приглашение от тренерского штаба. В финальной стадии чемпионата мира он сыграл два полных матча (боснийцы не сумели выйти из группы).