Йосип Дрмич родился 8-го августа 1992-го года в хорватской семье, которая в Швейцарии спасалась от югославских войн. Профессиональную карьеру Дрмич начинал в "Цюрихе", пройдя ранее через все возрастные команды этого клуба. Настоящим прорывом для Йосипа стал сезон 2012/13, когда ему удалось забить 13 голов в чемпионате Швейцарии.
Дрмич перешёл в "Нюрнберг" и не затерялся. В сезоне 2013/14 швейцарский нападающий записал на свой счёт 17 голов в Бундеслиге, став третьим лучшим бомбардиром турнира после Роберта Левандовски и Марио Манджукича. После этого Йосип подписал контракт с "Байером", но здесь был всего лишь резервистом. После одного года в Леверкузене Дрмич перебрался в мёнхенгладбахскую "Боруссию", правда, с тех пор форвард так и не смог завоевать стабильное место в стартовом составе "жеребцов".
В сентябре 2012-го года Дрмич дебютировал в сборной Швейцарии в отборочном матче против Албании. На следующем чемпионате мира, который проходил в Бразилии, Йосип принял участие во всех четырёх играх национальной команды и даже отметился двумя результативными передачами в поединке с Гондурасом. На Евро-2016 Дрмич не поехал из-за травмы, зато он попал в заявку швейцарской сборной на чемпионат мира 2018-го года.
