Александр Драгович родился 6 марта 1991-го года в Вене, в семье сербских эмигрантов. В 6 лет, по совету дедушки, записался в футбольную академию “Аустрии”, в которой прошёл все ступени обучения и в уже мае 2008-го года дебютировал в основной команде. В следующем сезоне он был уже полноценным игроком основного состава, а его уверенная и стабильная игра была оценена тренерским штабом национальной сборной Австрии, в которой Александр дебютировал в матче против не чужой ему Сербии.
В начале 2010-го года Драгович принял предложение швейцарского “Базеля”, который стабильно выступал в еврокубках, где продолжил свой профессиональный рост, дважды выиграв чемпионат Швейцарии и добравшись с командой до полуфинала Лиги Европы.
В июле 2013-го года Александр согласился на переезд в киевское “Динамо”, которое сумело удовлетворить финансовые аппетиты и игрока и команды, обставив в борьбе за защитника миланский “Интер”.